基本积分公式

1. \(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx\)
\begin{align*} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C \end{align*}
2. \(\int x^2 dx\)
\begin{align*} \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \end{align*}
3. \(\int \frac{1}{x^2} dx\)
\[ \begin{align*} &\int \frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx\\ =&\frac{x^{\mu+1}}{\mu +1}+C =\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C\\ =&\frac{x^{-1}}{-1}+C=\frac{1}{-1} x^{-1}+C=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C \end{align*} \]
4. \(\int \sin x dx\)
\[ \begin{align*} \int \sin x dx = -\cos x + C \end{align*} \]
5. \(\int \cos x dx\)
\[ \begin{align*} \int \cos x dx = \sin x + C \end{align*} \]
6. \(\int \frac{1}{1+x^2} dx\)
\[ \begin{align*} \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C \end{align*} \]
7. \(\int 3^x dx\)
\[ \begin{align*} \int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C \end{align*} \]
8. \(\int \frac{1}{x} dx\)
\[ \begin{align*} \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C \end{align*} \]

不定积分基本性质

根据不定积分与导数的关系：若 \(\int f(x)dx = F(x) + C\)（\(F(x)\) 是原函数，C 为常数），则 \(f(x) = F'(x)\)（常数的导数为 0） \begin{align*} f(x)=F'(x) \end{align*}
9. 已知 \(\int f(x) dx = \arcsin 2x + C\)，求 \(f(x)\)
\[ \begin{align*} \int f(x)dx&=\arcsin 2x + C\\ f(x)&=(\arcsin 2x)' \cdot (2x)'\\ f(x)&=\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2\\ f(x)&=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}} \end{align*} \]
10. 已知 \(\int f(x) dx = 2\sin 2x + C\)，求 \(f(x)\)
\[ \begin{align*} \int f(x)dx&=2\sin 2x + C\\ f(x)&=2(\sin 2x)'*(2x)'\\ f(x)&=2\cos 2x*2\\ f(x)&=4\cos 2x \end{align*} \]
11. 已知 \(\int f(x) dx = \arcsin 3x + C\)，求 \(f(x)\)
\[ \begin{align*} \int f(x)dx&=\arcsin 3x + C\\ f(x)&=(\arcsin 3x)'*(3x)'\\ f(x)&=\frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}}*3\\ f(x)&=\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}} \end{align*} \]
12. 已知 \(\int f(x) dx = 3\sin 3x + C\)，求 \(f(x)\)
\[ \begin{align*} \int f(x)dx&=3\sin 3x + C\\ f(x)&=3(\sin 3x)'*(3x)'\\ f(x)&=3\cos 3x*3\\ f(x)&=9\cos 3x \end{align*} \]

不定积分的导数,导数的不定积分

积分的导数:对一个函数的不定积分求导，结果等于这个函数本身 \begin{align*} &[\int f(x)dx]'=f(x) \end{align*}
13. 设 \(f(x)=\cot x\)，求 \((\int f(x)dx)'\)
\[ \begin{align*} (\int f(x)dx)' = \cot x \end{align*} \]
14. 设 \(f(x)=\tan x\)，求 \((\int f(x)dx)'\)
\[ \begin{align*} (\int f(x)dx)' = \tan x \end{align*} \]
19. 求 \((\int \arctan x\,dx)'\)
\[ \begin{align*} (\int \arctan x\,dx)' = \arctan x \end{align*} \]
20. 求 \((\int \arcsin x\,dx)'\)
\[ \begin{align*} (\int \arcsin x\,dx)' = \arcsin x \end{align*} \]
导数的积分等于原函数加常数 \begin{align*} (\int f'(x)dx)=f(x)+C \end{align*}
15. 设 \(f(x)=\sin x\)，求 \(\int f'(x)\,dx\)
\[ \begin{align*} \int f'(x)\,dx = \sin x + C \end{align*} \]
16. 设 \(f(x)=\cos x\)，求 \(\int f'(x)\,dx\)
\[ \begin{align*} \int f'(x)\,dx = \cos x + C \end{align*} \]

原函数与导数的关系

原函数的定义：若 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的原函数，则 \(f(x) = F'(x)\)（原函数的导数等于被积函数）
17. 设 \(x^2+\sin x\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，求 \(f(x)\)
\[ \begin{align*} f(x)&=F'(x)\\ &=x^2+\sin x\\ &=(x^2+\sin x)'\\ &=2x+\cos x \end{align*} \]
18. 设 \(x^3+2\sin x\) 是 \(f(x)\) 的一个原函数，求 \(f(x)\)
\[ \begin{align*} f(x)&=F'(x)\\ &=x^3+2\sin x\\ &=(x^3+2\sin x)'\\ &=3x^2+2\cos x \end{align*} \]
21. 已知 \(f(x)=\cos x\)，求一个原函数
\[ \begin{align*} f(x)&=cosx\\ f(x)&=(sinx)'\\ f(x)&=cosx\\ \therefore 原函&数sinx \end{align*} \]
22. 已知 \(f(x)=\sin x\)，求一个原函数
\[ \begin{align*} f(x)&=sinx\\ f(x)&=(-cosx)'\\ f(x)&=sinx\\ \therefore 原函&数-cosx \end{align*} \]

不定积分的线性运算

23. \(\int (2-\cos x)\,dx\)
\[ \begin{align*} &\int (2-\cos x)dx\\ =&\int 2dx-\int \cos x dx\\ =&2x-\sin x + C \end{align*} \]
24. \(\int (4-3\cos x)\,dx\)
\[ \begin{align*} &\int (4-3\cos x)dx\\ =&\int 4dx-\int 3\cos x dx\\ =&4x-3\sin x + C \end{align*} \]
25. \(\int (x^3+e^x)\,dx\)
\[ \begin{align*} &\int (x^3+e^x)dx\\ =&\int x^3dx+\int e^xdx\\ =&\frac{x^{3+1}}{3+1} +e^x+C\\ =&\frac{x^4}{4} +e^x+C \end{align*} \]
26. \(\int (x^5+2e^x)\,dx\)
\[ \begin{align*} &\int (x^5+2e^x)dx\\ =&\int x^5dx+\int 2e^x dx\\ =&\frac{x^{5+1}}{5+1} +2e^x+C\\ =&\frac{x^6}{6} +2e^x+C \end{align*} \]

第一类换元积分法（凑微分法）

29. \(\int cosxsin^2xdx\)
29. \(\int sinxcosx^2xdx\)
29. \(\int \frac{3x^3}{1-x^4}dx\)
29. \(\int \frac{2x^3}{1-x^4}dx \)

分部积分法

\begin{align*} \int uv'dx=uv-\int u'vdx \end{align*}
27. \(\int x \sin x \, dx\)
\[ \begin{align*} &\int x \sin x dx\\ =&\int x(-\cos x)' dx\\ =&-x\cos x+\int (x)' \cos x dx\\ =&-x\cos x+\sin x + C \end{align*} \]
27. \(\int x \cos x \, dx\)
\[ \begin{align*} &\int xcosxdx\\ =&\int x(sinx)'dx\\ =&xsinx-\int sinxdx\\ =&xsinx+cosx+C \end{align*} \]
28. \(\int x e^{-x} \, dx\)
\[ \begin{align*} &\int xe^{-x}dx\\ =&\int x(-e^{-x})dx\\ =&-xe^{-x}-\int -e^{-x}dx\\ =&-xe^{-x}+\int e^{-x}dx\\ =&-xe^{-x}-e^{-x}+C \end{align*} \]
29. \(\int x e^{x} \, dx\)
\[ \begin{align*} &\int xe^{x}dx\\ =&\int x(e^{x})'dx\\ =&xe^{x}-\int e^{x}dx\\ =&xe^{x}-e^{x}+C \end{align*} \]