第一题

\[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 5x + 6} \]

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我的答案

\[ \begin{align*} \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 5x + 6} &= \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)^2}{(x - 2)(x - 3)} \\ &= \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x - 2} \\ &= \frac{3 - 3}{3 - 2} \\ &= 0 \end{align*} \]

正确答案

\[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 5x + 6} = \lim_{x \to 3} \frac{2x - 6}{2x - 5} = \frac{2 \cdot 3 - 6}{2 \cdot 3 - 5} = \frac{0}{1} = 0 \]

解析

分子 \((x^2 - 6x + 9) = (x - 3)^2\)，
分母 \((x^2 - 5x + 6) = (x - 2)(x - 3)\)。
约去公因式 \((x - 3)\) 后，代入 \(x = 3\) 即得极限值 \(0\)。

第二题

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sec x - \tan x) \]

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我的答案

\[ \begin{align*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} }(secx-tanx)&= \lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\frac{1}{cosx}-\frac{sinx}{cosx}\\ &= \lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\frac{1-sinx}{cosx}\\ &= \lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\frac{-cosx}{-sinx}\\ &=\frac{cos\frac{\pi }{2} }{sin\frac{\pi}{2} }\\ &=\frac{0}{1}\\ &=0 \end{align*} \]

正确答案

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sec x - \tan x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-\cos x}{-\sin x} = 0 \]

解析

通分后得 \(\displaystyle \frac{1 - \sin x}{\cos x}\)，属于 \(\displaystyle \frac{0}{0}\) 型，
可用洛必达法则或换元 \(t = \frac{\pi}{2} - x\) 直接得到极限值 \(0\)。

第三题

\[ \lim_{x \to 1}(\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1} ) \]

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我的答案

\[ \begin{align*} \lim_{x \to 1}(\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1} )&= \lim_{x \to 1}(\frac{2}{(x-1)(x+1)}-\frac{x+1}{(x-1)(x+1)})\\ &=\lim_{x \to 1}\frac{-(x-1)}{(x-1)(x+1)} \\ &=\lim_{x \to 1}\frac{-1}{x+1} \\ &=-\frac{1}{2} \end{align*} \]

正确答案

\[\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} &= \lim_{x \to 1} \frac{2x}{1} \quad\text{（洛必达法则）}\\[4px] &= 2 \cdot 1 = 2 \end{aligned}\]

解析

因式分解得 \((x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)\)，约去公因式 \((x - 1)\) 后，代入 \(x = 1\) 即得极限值 \(2\)。

第四题

\[\lim_{x \to 1}(\frac{3}{x^3-1}-\frac{1}{x-1})\]

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我的答案

\[ \begin{align*} \lim_{x \to 1}(\frac{3}{x^3-1}-\frac{1}{x-1})&=\lim_{x \to 1}(\frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)})\\ &=\lim_{x \to 1}(\frac{3-(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)})\\ &=\lim_{x \to 1}(\frac{2-x^2-x}{(x-1)(x^2+x+1)})\\ &=\lim_{x \to 1}(\frac{-(x+2)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)})\\ &=\lim_{x \to 1}\frac{-(x+2)}{x^2+x+1}\\ &=\frac{-1-2}{1+1+1}\\ &=\frac{-3}{3}\\ &=-1 \end{align*} \]

正确答案

\[\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} &= \lim_{x \to 1} \frac{3x^2}{1} \quad\text{（洛必达法则）}\\[4px] &= 3 \cdot 1^2 = 3 \end{aligned}\]

解析

利用立方差公式 \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\)，约去公因式 \((x - 1)\) 后，代入 \(x = 1\) 即得极限值 \(3\)。

第五题

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 3x}\]

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我的答案

\[\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{sin2x}{tan3x}&=\lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} \\ &=\frac{2}{3} \end{align*}\]

正确答案

\[\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 3x} &= \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} \\[4px] &= \frac{2}{3} \end{aligned}\]

解析

利用等价无穷小：
当 \(x \to 0\) 时，\(\sin 2x \sim 2x\)，\(\tan 3x \sim 3x\)，
故极限为 \(\displaystyle \frac{2}{3}\)。

第六题

\[\lim_{x \to +\infty}\frac{x^m-a^m}{x^n-a^n}\]

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我的答案

\[\begin{align*} \lim_{x \to +\infty}\frac{x^m-a^m}{x^n-a^n}&=\lim_{x \to +\infty}\frac{m*x^{m-1}}{n*x^{n-1}}\\ &=\frac{m}{n}*x^{m-n} \end{align*}\]

正确答案

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{a_n}{b_m}, & n = m \\[6px] 0, & n < m \\[6px] +\infty \;(\text{或}-\infty), & n > m \end{cases} \]

解析

比较最高次项：
当 \(n = m\) 时极限为系数比 \(\dfrac{a_n}{b_m}\)；
当 \(n < m\) 时趋于 \(0\)；
当 \(n > m\) 时趋于无穷（符号由系数决定）。

第七题

\[\lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x - a}\]

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我的答案

\[\begin{aligned} &= \lim_{x \to a} \frac{\sin x - \sin a}{x - a} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(a + t) - \sin a}{t} \quad (t = x - a)\\[4px] &= \lim_{t \to 0} \frac{2 \cos\left(a + \frac{t}{2}\right) \sin\frac{t}{2}}{t} = \cos a \end{aligned}\]

正确答案

\[ \begin{align*} \lim_{x \to a} \frac{sinx-sina}{x-a}&=\lim_{x \to a}\frac{cosx}{1}\\ &=cosa \end{align*} \]

解析

此即导数定义 \(f'(a)\)，其中 \(f(x) = \sin x\)，故极限为 \(\cos a\)。

第八题

\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\sin x}\]

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我的答案

\[ \begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{e^x-e^{-x}}{sinx} &=\lim_{x \to 0} \frac{e^x+e^{-x}}{cosx} \\ &=\frac{1+1}{1}\\ &=2 \end{align*} \]

正确答案

\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1 + 1}{1} = 2 \]

解析

原极限为 \(\frac{2}{0}\) 型，不存在有限极限；
若题目实际为 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}\) 或 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x}\)，则答案为 \(2\)。